Александр Барабанов — воспитанник петербургского хоккея. Профессиональную карьеру начал в клубе МХЛ «СКА-1946» в 2010 году. В сезоне 2012/2013 выступал также за команду «ВМФ-Карелия» (ныне — «СКА-Нева»), при этом за время матчей, проведенных в этом же сезоне в «СКА-1946» стал лучшим снайпером регулярного первенства МХЛ. Принимал участие в Кубке Вызова МХЛ в 2013 году. В сезоне 2013/2014 дебютировал за основную команду в КХЛ. В 2015 году стал серебряным призером чемпионата России, а в 2017 - чемпионом страны. Двукратный обладатель Кубка Гагарина в составе СКА. По итогам сезона 2017/18 стал обладателем Кубка Континента и бронзовым призером чемпионата России.
На уровне сборных в 2012 году участвовал в юношеском чемпионате мира до 18 лет. В 2014 году на молодежном чемпионате мира стал бронзовым призером. В 2018 году стал обладателем золотой медали Олимпийских игр в Пхенчхане. Заслуженный мастер спорта России.